Yelchin sinh ngày 11 tháng 3 năm 1989 ở Leningrad, Xô Viết (giờ đây là Saint Petersburg, Nga).[2] Bố mẹ anh, Irina Korina và Viktor Yelchin, là cặp vận động viên trượt băng tham gia tại Leningrad Ice Ballet suốt 15 năm.[3][4] Gia đình anh là người Do thái; tại Xô Viết, họ phải chịu sự đàn áp về tôn giáo và chính trị.[3][5][6] Yelchin phát biểu: "Ông bà tôi phải chịu đựng nhiều điều mà tôi không thể hiểu được dưới ách thống trị của Stalin."[6]

Bố mẹ của Yelchin là cặp vận động viên xếp thứ 3 trên toàn quốc; dù đủ tư cách tham gia kỳ Thế vận hội Mùa đông 1972, nhưng chính quyền Xô Viết không cho phép[3][4] (Yelchin nói rằng lý do này không chính xác: "Tôi không nhớ chính xác lý do – vì chúng tôi là người Do thái hay KGB không muốn chúng tôi đi").[7] Gia đình anh dời đến Hoa Kỳ vào tháng 9 năm 1989, khi Anton mới 6 tháng tuổi và được Bộ Ngoại giao Hoa Kỳ xếp vào tình trạng tị nạn.[3][4] Mẹ của Yelchin làm việc như một biên đạo múa trượt băng và bố anh là một huấn luyện viên bộ môn trượt băng nghệ thuật, là người thầy đầu tiên của Sasha Cohen.[8][9] Chú của Yelchin là nhà văn và họa sĩ Eugene Yelchin.[3]

Trong một bài báo của Los Angeles Times vào tháng 12 năm 1989, mẹ của Yelchin khẳng định "Một người phụ nữ thấy Anton và bảo 'Cậu bé thật đẹp. Cậu ấy sẽ là một diễn viên.'"[3] Yelchin cho rằng mình trượt băng "không giỏi mấy".[10] Anh từng cho trong ban nhạc punk tên là The Hammerheads, trước khi nhóm giải thể.[5][11] Anh thích chơi guitar và hâm mộ dòng nhạc acoustic blues. Anh theo học trường Sherman Oaks Center for Enriched Studies ở Tarzana, California[8] và đến Đại học Nam California mùa thu năm 2007 để học về điện ảnh.[12]